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Código BCB

El Código Decimal Codificado en Binario (BCD, por sus siglas en inglés) es un método utilizado para representar números decimales en formato binario. En este sistema, cada dígito decimal (del 0 al 9) se codifica utilizando una secuencia de 4 bits, lo que permite una representación directa y sencilla de los números decimales.

Características del BCD

Representación: Cada dígito decimal se convierte a su equivalente binario de 4 bits. Por ejemplo:

Ejemplo de Conversión: Para el número decimal 59237, su representación en BCD sería:

Decimal: 5 → BCD: 0101

Decimal: 9 → BCD: 1001

Decimal: 2 → BCD: 0010

Decimal: 3 → BCD: 0011

Decimal: 7 → BCD: 0111

Así, el número completo se representa como 0101 1001 0010 0011 0111.

Ventajas:

Facilita la visualización y manipulación de números decimales en sistemas digitales.

Permite realizar operaciones aritméticas directamente sobre los dígitos decimales sin necesidad de convertir a binario puro.

Desventajas:

Utiliza más espacio que la representación binaria pura, ya que solo utiliza los primeros diez valores posibles de un conjunto de cuatro bits.

La capacidad de representación se limita a los dígitos del sistema decimal, lo que puede resultar en ineficiencia al almacenar números grandes.

Aplicaciones del BCD

El BCD es ampliamente utilizado en aplicaciones donde es necesario mostrar números decimales, como:

Visualizadores de siete segmentos, donde cada cuarteto BCD se traduce directamente a un dígito en la pantalla.

Sistemas de BIOS en computadoras que almacenan datos como la fecha y la hora en formato BCD.

Puertas lógicas

Las puertas lógicas son componentes fundamentales en la electrónica digital, utilizadas para realizar operaciones lógicas sobre señales binarias. Las tres puertas lógicas más básicas son AND, OR y NOT. A continuación, se describen sus características, funcionamiento y aplicaciones.

Puerta Lógica AND

La puerta lógica AND realiza la operación de multiplicación lógica. Su salida es alta (1) únicamente cuando todas sus entradas son altas (1). Si alguna de las entradas es baja (0), la salida será baja (0).

Función Booleana:  S=A⋅B

Aplicaciones: Se utiliza en circuitos donde se requiere que se cumplan todas las condiciones de entrada para activar una salida, como en sistemas de alarmas donde múltiples sensores deben ser activados simultáneamente.

Puerta Lógica OR

La puerta lógica OR realiza la operación de suma lógica. Su salida es alta (1) si al menos una de sus entradas es alta (1). Solo será baja (0) si todas las entradas son bajas (0).

Función: S=A+B

Aplicaciones: Comúnmente utilizada en sistemas donde se necesita que al menos una condición sea verdadera para activar una acción, como en sistemas de control de temperatura donde un ventilador puede encenderse si cualquiera de los sensores detecta un problema.

Puerta Lógica NOT

La puerta lógica NOT, también conocida como inversor, tiene solo una entrada y su función es invertir el estado lógico de esta. Si la entrada es alta (1), la salida será baja (0), y viceversa.

BCD en uso

Ejercicio

Tabla de resultados

Ejercicio

Tabla de resultados

Circuitos

Resultados

propiedades de algebra de Boole

1. Propiedad ConmutativaLa propiedad conmutativa establece que el orden de los operandos no afecta el resultado de la operación. Esta propiedad se aplica tanto a la suma (disyunción) como al producto (conjunción):

• Suma (OR):
  $$a+b=b+a$$
• Producto (AND):
  $$a\cdot b=b\cdot a$$

Ejemplo: Si $a=0$ y $b=1$:

• $a+b=0+1=1$
• $b+a=1+0=1$

Ambas expresiones dan el mismo resultado.2. Propiedad AsociativaLa propiedad asociativa indica que la forma en que se agrupan los operandos no cambia el resultado. Esto también se aplica a ambas operaciones:

• Suma:
  $$(a+b)+c=a+(b+c)$$
• Producto:
  $$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$$

Ejemplo: Si $a=0$, $b=1$, y $c=1$:

• $(a+b)+c=(0+1)+1=1+1=1$
• $a+(b+c)=0+(1+1)=0+1=1$

Ambas expresiones son equivalentes.3. Propiedad DistributivaLa propiedad distributiva permite expandir o factorizar expresiones booleanas:

• Distributiva sobre la suma:
  $$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$$
• Distributiva sobre el producto:
  $$a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)$$

Ejemplo: Si $a=1$, $b=0$, y $c=1$:

• $a\cdot (b+c)=1\cdot (0+1)=1\cdot 1=1$
• $(a\cdot b)+(a\cdot c)=(1\cdot 0)+(1\cdot 1)=0+1=1$

Ambas expresiones son equivalentes.4. Elemento NeutroCada operación tiene un elemento neutro que no afecta el resultado:

• Para la suma, el elemento neutro es 0:
  • $a+0=a$
• Para el producto, el elemento neutro es 1:
  • $a\cdot 1=a$

Ejemplo: Si $a=0$:

• $a+0=0+0=0$

Si $a=1$:

• $a\cdot 1=1\cdot 1=1$

5. ComplementoCada elemento tiene un complemento que, al combinarse, produce el elemento neutro:

• Para la suma:
  • $a+a^{\mathrm{\prime }}=1$
• Para el producto:
  • $a\cdot a^{\mathrm{\prime }}=0$

Ejemplo: Si $a=0$:

• Su complemento es $a^{\mathrm{\prime }}=1$:
• Entonces, $a+a^{\mathrm{\prime }}=0+1=1$

Si $a=1$:

• Su complemento es $a^{\mathrm{\prime }}=0$:
• Entonces, $a\cdot a^{\mathrm{\prime }}=1\cdot 0=0$

Pasos generales para simplificar una función lógica con el método de Karnaugh

1. Construir el mapa de Karnaugh:

   • Para una función de 2, 3, 4 o más variables, el mapa será una matriz de celdas donde cada celda representa una combinación de valores de entrada.
   • Cada celda se llena con un valor correspondiente a la salida de la función lógica en esa combinación de entradas. En el mapa, las celdas pueden contener un valor de 1 o 0, dependiendo del valor de la función en esa combinación de entradas.

2. Llenar las celdas del mapa:

   • Si se tiene una tabla de verdad, se usa para colocar los valores 1 en las celdas que corresponden a las salidas verdaderas (1) y 0 en las que corresponden a salidas falsas (0).
   • Si tienes la expresión booleana en su forma canónica (sumas de productos o productos de sumas), también puedes colocar directamente los 1’s o 0’s en las celdas.

3. Agrupar los 1’s:

   • Busca grupos de 1's adyacentes en el mapa de Karnaugh. Los grupos pueden ser de tamaño 1, 2, 4, 8, etc. (tamaño siempre en potencias de 2).
   • Los grupos deben ser rectangulares o cuadrados, y deben ser lo más grandes posibles para maximizar la simplificación.
   • Las celdas pueden "envolverse" por los bordes del mapa, es decir, el mapa es cíclico, lo que significa que las celdas del lado derecho se conectan con las del izquierdo, y las celdas de la parte superior con las de la inferior.

4. Escribir la expresión simplificada:

   • Para cada grupo de 1’s, se escribe una expresión booleana que representa las variables que permanecen constantes en el grupo.
   • Se deben eliminar las variables que cambian dentro del grupo. Si una variable tiene tanto 0 como 1 en el grupo, se descarta de la expresión.
   • Si un grupo cubre varias celdas donde una variable está siempre en 0 o siempre en 1, esta variable se mantiene constante en la expresión.

5. Escribir la función simplificada:

   • La expresión booleana final es la suma (OR) de las expresiones correspondientes a cada grupo.

Ejemplo paso a paso

Vamos a simplificar la siguiente función lógica de 3 variables:
F(A, B, C) = Σ(1, 3, 5, 7)

1. Construcción del mapa de Karnaugh:

   El mapa de Karnaugh para 3 variables (A, B, C) tiene 8 celdas, correspondientes a las combinaciones de los valores de A, B, C.

   
   
   

   Donde las filas son los valores de A (0 y 1), y las columnas son los valores de BC (00, 01, 11, 10). Los valores 1 en el mapa corresponden a los minitérminos (1, 3, 5, 7).

2. Llenar el mapa con los valores de la tabla de verdad:

   La función F(A, B, C) toma el valor 1 en las posiciones 1, 3, 5 y 7, según la notación Σ(1, 3, 5, 7). Así que colocamos los valores 1 en las celdas correspondientes:

3. Agrupar los 1's:

   Observamos que podemos hacer dos grupos de 1’s:

   • Un grupo de 4 1's en las posiciones 1, 3, 5 y 7 (en el mapa, estas son las celdas correspondientes a AB=0, BC=01, 11, 10).
   • Este grupo cubre todas las combinaciones de C (se puede ver que C cambia entre 0 y 1, pero B es constante).

4. Simplificar la expresión:

   • Para el grupo de 4 celdas (1, 3, 5, 7): B es constante y C cambia, por lo que el término simplificado es B.

5. Escribir la función simplificada:

   La función simplificada es solo B.